邹生书——2020年高考全国一卷第20题直线过定点问题的 简证与变式 拓展与背景

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2020年高考全国一卷第20题直线过定点

问题的简证与变式   拓展与背景

湖北省阳新县高级中学      邹生书 

1.试题简解

20.已知A,B分别为椭圆E:x²/a²+y²=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，向量AG与向量GB的数量积为8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明直线CD过定点。

（2）由对称性知，若直线CD过定点，则定点必在X轴上,且在线段AB上。

当点P在x轴上时，线段CD与线段BA重合。

当点P不在x轴上时，依题意直线PA,PB不垂直于x轴，故可设直线PA的方程为x=my-3（m≠0），将其代入椭圆方程整理得

由对称性知，若直线CD过定点，则定点必在x轴上。设动直线CD与x轴的交点为M(t,0),则只需证明t为定值即可。

当点P在x轴上时，线段CD与线段BA重合，显然过定点M.

故直线CD恒过定点（3/2,0)

2.试题变式

变式题：已知A,B分别为椭圆E:x²/a²+y²=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，向量AG与向量GB的数量积为8，过点M(3/2,0)的动直线CD与椭圆分别相交于C,D两点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明直线AC与BD的交点在一条定直线上。

评注：变式题是高考题的逆向探究问题，所得结论是高考题的逆命题。无独有偶，编者发表于《河北理科教学研究》2012年第6期的文章《先猜后证破解圆锥曲线“三定”探索题》中的“先猜后证破定线”例3如出一辙，原题如下：

例3：已知椭圆C的离心率e=√3/2，长轴的左右端点分别为A₁(-2,0),A₂(2,0).

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点, 直线A₁P与A₂Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

3.试题背景与结论拓展

评注：直线AC与BD的交点在定直线x=6上.上面试题与变式题中的点M(1.5,0)与直线x=6,恰好是已知椭圆的一对极点与极线，这就是这道高考题的命题背景。

综合归纳上述高考试题与变式，可得椭圆有如下更一般性结论：

性质：已知A,B分别为椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右顶点，点M(t,0)（t≠0）和直线l:x=a²/t是椭圆的一对极点与极线。

（1）若点P是极线l上一动点，直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D，则直线CD恒过极点M。

(2)若过极点M的直线与椭圆分别相交于C,D两点，则直线AC与BD的交点在极线l上。

4.下附圆锥曲线极点和极线的定义与几何意义

4.1.圆锥曲线极点和极线的定义

4.2.圆锥曲线的极点和极线的几何意义

定理：已知点P和直线L是圆锥曲线C的一对极点和极线。则

（1）若极点P在曲线C上，则极线L就是曲线C在点P处的切线；

（2）若过极点P可作曲线C的两条切线,M,N为切点，则极线L就是直线MN；

（3）若过极点P的直线与曲线C相交于M,N两点，则曲线C在M,N两点处的两

条切线的交点Q在极线L上；

（4）若过极线L上一点Q可作C的两条切线,M,N为切点，则直线MN必过极点P.

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